Четна и нечетна функция

Четна е тази функция f, за която функцията от всеки определен аргумент (аргументи) е равна на същата функция от противоположния на този аргумент (аргументи), т.е.:

f(-x)= f(x);
f(-x₁; -x₂; ...; -x_n)= f(x₁; x₂; ...; x_n)

За да бъде една функция четна, е необходимо и достатъчно:

Едновременно х и -х да принадлежат на дефиниционната област на функцията(т.е. ако функцията може да се дефинира за х, то тя да може да се дефинира и за -х);
равенството f(-x)= f(x) да е изпълнено за всеки аргумент от дефиниционната област.

Някои четни функции

Четни функции са четните степени на всички числа (това кореспондира и с името на функцията: четната степен е четна функция, а нечетната – нечетна функция):

(-x)ⁿ=xⁿ, където 2/n, n∈ℤ

-Също четни са и полиномите с мономи само от четни степени:

f(x)=a₀x²ⁿ+a₁x^2(n-1)+ ... +a_n-1x²+a_n, (където n∈ℕ) ⇒ f(-x)=f(x);

-Тригонометричната функция косинус е единствената четна тригонометрична функция:

$cos(-x)=cosx$ ;

Графика на четна функция

Графиките на четните функции са симетрични спрямо ординатната ос.

Забележка: Четните и нечетните функции не са допълнителни една на друга, т.е., когато една функция не е четна, то не е задължително тя да е нечетна.

Нечетна Функция

Нечетна е тази функция f, за която функцията от всеки определен аргумент (аргументи) е противоположна на същата функция от противоположния на този аргумент (аргументи), т.е.:

f(-x)= -f(x);
f(-x₁; -x₂; ...; -x_n)= -f(x₁; x₂; ...; x_n)

За да бъде една функция нечетна, е необходимо и достатъчно:

Едновременно х и -х да принадлежат на дефиниционната област на функцията(т.е. ако функцията може да се дефинира за х, то тя да може да си дефинира и за -х);
равенството f(-x)= -f(x) да е изпълнено за всеки аргумент от дефиниционната област;

Някои нечетни функции

Нечетни функции са нечетните степени на всички числа (това кореспондира и с името на функцията: нечетната степен е нечетна функция, а четната – четна функция):

(-x)²ⁿ⁺¹=-x²ⁿ⁺¹, където n∈ℤ;

-Също нечетни са и полиномите от нечетни степени:

f(x)=a₀x²ⁿ⁺¹+a₁x^2(n-1)+1+ ... +a_n-1x³+a_nх, (където n∈ℕ) ⇒ f(-x)=-f(x);

-Всички тригонометрични функции освен функцията косинус и косеканс(които са четни), са нечетни (виж тригонометрична функция):

$sin(-x)=-sinx$ ;
$tg(-x)=-tgx$ ;
$cotg(-x)=-cotgx$ ;

Графика на нечетна функция

Графиките на нечетните функции са симетрични спрямо началото на координатната система.

Левият клон на графиката (този, който отговаря на f(-|x|) и е разположен във II и III квадрант на координатната система) се получава от десния чрез ротация на 180° с център началото на координатната система (или чрез последователно прилагане на симетрия спрямо координатните оси)

Забележка: Четността и нечетността на функциите не са допълнителни едно на друго понятия, т.е., когато една функция не е четна, то не е задължително тя да е нечетна.

Единствената функция, която е едновременно и четна, и нечетна, е f(x)=0.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.